已知(3+x)^10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)^2+……+a10(1+x)^10求an（n=0,1,2,…10）的最大值

Question

已知(3+x)^10=a0+a1(1+x)+a2(1+x)^2+……+a10(1+x)^10
求an（n=0,1,2,…10）的最大值

Answer 1

(3+x)^10=[2+(1+x)]^10
an=C(10,n)*2^(10-n)=10!/[(n)!*(10-n)!*2^(10-n)]
若an最大
则an>=a(n-1)且an>=a(n+1)
a(n-1)=C(10,n-1)*2^(11-n)=10!/[(n-1)!*(11-n)!*2^(11-n)]
a(n+1)=C(10,n+1)*2^(9-n)=10!/[(n+1)!*(9-n)!*2^(9-n)]
(1)an>=a(n-1)
10!/[(n)!*(10-n)!*2^(10-n)]>=10!/[(n-1)!*(11-n)*2^(11-n)]
(n-1)!*(11-n)*2^(11-n)>=(n)!*(10-n)!*2^(10-n)
2(11-n)>=n 3n=10!/[(n+1)!*(9-n)!*2^(9-n)]
(n+1)!*(9-n)!*2^(9-n)>=(n)!*(10-n)!*2^(10-n)
n+1>=2(10-n) 3n>=21 n>=7
所以 7