若点P(2,1)是抛物线Y^2=4X的一条弦AB的中点,求AB的方程抛物线Y=X^2+2X+1到直线Y=2X-2的距离最小的点的坐标为?

Question

若点P(2,1)是抛物线Y^2=4X的一条弦AB的中点,求AB的方程
抛物线Y=X^2+2X+1到直线Y=2X-2的距离最小的点的坐标为?

Answer 1

若弦斜率不存在,则是x=2,则AB中点是(2,0)
所以弦斜率存在,设为k
y-1=k(x-2)
y^2=4x
所以(kx-2k+1)^2=4x
k^2x^2-[2k(2k-1)-4]x+(2k+1)^2=0
x1+x2=[2k(2k-1)-4]/k^2
P是中点
所以(x1+x2)/2=2
[2k(2k-1)-4]/k^2=4
4k^2-2k-4=4k^2
k=-2
所以AB是2x+y-5=0
设这个点A的横坐标是a
则纵坐标是a^2+2a+1
则A到直线2x-y-2=0距离=|2a-a^2-2a-1|/根号5
就是分子最小时a的值
|2a-a^2-2a-1|=|a^2+1|=a^2+1
显然a=0时最小
a^2+2a+1=1
所以此点是(0,1)