指数和真数都不同的两个对数函数怎么比大小例①2为底1/5的对数与0.5为底3/2的对数②1/4为底8/7的对数与1/5为底6/5的对数

Question

指数和真数都不同的两个对数函数怎么比大小
例 ①2为底1/5的对数 与 0.5为底3/2的对数
②1/4为底8/7的对数 与 1/5为底6/5的对数

Answer 1

观察两个对比项的关系,底数不同当然要换成相同的底数,可用换底公式,或根据对数的性质变换底数.对比大小时,利用对数单调性,可采用作差法、作商法、不等式放缩法、作图比较等方法.
①作差法.（利用：对数性质——log(a^n)b^m=m/n*[log(a)b] ；log(a)M+log(a)N=log(a)[M·N]）
log(0.5)[3/2]=log(1/2)[3/2]=log(2^-1)[3/2]=-log(2)[3/2]
log(2)[1/5]-log(0.5)[3/2]=log(2)[1/5]+log(2)[3/2]=log(2)[1/5*3/2]=log(2)[3/10]＜log(2)1=0
故 log(2)[1/5]＜log(0.5)[3/2]
②不等式放缩法.（利用：对数单调性）
log(1/4)[8/7]=log(4^-1)[8/7]=-log(4)[8/7]=log(4)[(8/7)^-1]=log(4)[7/8]
log(1/5)[6/5]=log(5)[5/6]
[观察上述两个对数中的真数7/8和5/6的关系,为便于比较其大小,化为同分母（24）的分式]
log(1/4)[8/7]=log(4)[21/24]
log(1/5)[6/5]=log(5)[20/24]＜log(5)[21/24]＜log(4)[21/24]=log(1/4)[8/7]
[此即为不等式放缩法,利用对数函数y=log(a)X为增函数（a＞1,X＞0）时的性质,即可放缩传递比较大小]
从而 log(1/4)[8/7]＞log(1/5)[6/5]