已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点,直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标；（3）在

Answer 1

∵抛物线y=ax^2+bx+c经过A、B、C三点,
则有：a-b+c=0 ①
9a+3b+c=0 ②
c=3 ③
联立①②③形成方程组并解之得：
a=-1,b=2,c=3
∴抛物线的解析式为：y=-x^2+2x+3
=-（x-1)^2+4
∴直线l为：x=1
设P点纵坐标为n,则P点坐标为（1,n)；
又IACI=√[（-1）^2+3^2]
=√10
IAPI=√[(-1-1)^2+n^2]
=√(n^2+4)
ICPI=√[1^2+(n-3)^2]
=√[(n-3)^2+1]
∴△PAC的周长L=IAPI+ICPI+IACI
=√(n^2+4)+√[(n-3)^2+1]+√10
当△PAC的周长最小时,n=1
∴P点坐标为（1,1）
设直线l上存在一点M,使△MAC为等腰三角形的M点的纵坐标m；
则M点的坐标为（1,m）；
∴IACI=√10
IAMI=√(m^2+4)
ICMI=√[(m-3）^2+1]
∴①当IACI=IAMI时,△MAC是等腰三角形,即：√10=√（m^2+4)
解之得：m=±√6
∴M点坐标为（1,-√6）,（1,√6）
②同理,当IACI=ICPI时,△MAC也是等腰三角形,即：
√10=√[(m-3)^2+1]
解之得：m=0,m=6
∴M点的坐标为（1,0）,（1,6）
③同理,当IMAI=IMCI时,△MAC也是等腰三角形,即：
√(n^2+4)=√[(m-3)^2+1]
解之得：m=1
∴M点的坐标为(1,1）
综上所述,在直线l上存在点M,使△MAC为等腰三角形的M点坐标有：
（1,-√6）,（1,6）,（1,0）,（1,6）,（1,1）