已知函数f(x)=x3+lg(x+根号下（x2+1）)+2,在负无穷到0上有最小值-5,则函数在0到正无穷的最大值等于?

Question

已知函数f(x)=x3+lg(x+根号下（x2+1）)+2,在负无穷到0上有最小值-5,则函数在0到正无穷的最大值等于?

Answer 1

因为,[x+√(x²+1)][-x+√(x²+1)] = 1 ,即有：-x+√(x²+1) = 1/[x+√(x²+1)] ,
所以,lg[-x+√(x²+1)] = -lg[x+√(x²+1)] ；
令 g(x) = f(x)-2 = x³+lg[x+√(x²+1)] ,
则 g(-x) = (-x)³+lg{-x+√[(-x)²+1)]} = -x³+lg[-x+√(x²+1)] = -x³-lg[x+√(x²+1)] = -g(x) ,
已知,f(x) 在 (-∞,0) 上有最小值 -5 ,
可得：g(x) = f(x)-2 在 (-∞,0) 上有最小值 -5-2 = -7 ；
因为,g(x) 是奇函数,
所以,g(x) 在 (0,+∞) 上有最大值 7 ,
可得：f(x) = g(x)+2 在 (0,+∞) 上有最大值 7+2 = 9 .