在正三棱锥P-ABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此棱锥截面与底面所成的二面角正弦值是．

Question

在正三棱锥P-ABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此棱锥截面与底面所成的二面角正弦值是___．

Answer 1

取MN和BC的中点分别为E，F，
∵M，N分别是PB，PC的中点，
∴MN∥BC
∵MN⊂截面AMN
∴BC∥截面AMN
设截面AMN∩平面ABC=l
∴BC∥l
∵E，F分别为MN和BC的中点
∴AE⊥MN，AF⊥BC
∴∠EAF为所作的二面角的平面角，
设AB=a，∵截面AMN⊥侧面PBC，∴侧棱PA=PB=PC=(√(3))/(2)a，∴PF=(√(2))/(2)a，∴EF=(√(2))/(4)a
在直角△AEF中，AF=(√(3))/(2)a，EF=(√(2))/(4)a
∴sin∠EAF=(√(6))/(6)
故答案为：(√(6))/(6)