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在正三棱锥P-ABC中,M,N分别是PB,PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此棱锥截面与底面所成的二面角正弦值是.
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在正三棱锥P-ABC中,M,N分别是PB,PC的中点,若截面AMN⊥侧面PBC,则此棱锥截面与底面所成的二面角正弦值是___.
▼优质解答
答案和解析
取MN和BC的中点分别为E,F,
∵M,N分别是PB,PC的中点,
∴MN∥BC
∵MN⊂截面AMN
∴BC∥截面AMN
设截面AMN∩平面ABC=l
∴BC∥l
∵E,F分别为MN和BC的中点
∴AE⊥MN,AF⊥BC
∴∠EAF为所作的二面角的平面角,
设AB=a,∵截面AMN⊥侧面PBC,∴侧棱PA=PB=PC=
a,∴PF=
a,∴EF=
a
在直角△AEF中,AF=
a,EF=
a
∴sin∠EAF=
故答案为:
![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532752618-5762.jpg)
∵M,N分别是PB,PC的中点,
∴MN∥BC
∵MN⊂截面AMN
∴BC∥截面AMN
设截面AMN∩平面ABC=l
∴BC∥l
∵E,F分别为MN和BC的中点
∴AE⊥MN,AF⊥BC
∴∠EAF为所作的二面角的平面角,
设AB=a,∵截面AMN⊥侧面PBC,∴侧棱PA=PB=PC=
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在直角△AEF中,AF=
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∴sin∠EAF=
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故答案为:
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