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设A为实对称矩阵,且A正交相似于B,证明B为实对称矩阵.
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设A为实对称矩阵,且A正交相似于B,证明B为实对称矩阵.
▼优质解答
答案和解析
由已知,存在正交矩阵Q使得 Q^TAQ=B
因为 A是对称矩阵
所以 A^T=A
所以 B^T = (Q^TAQ)^T
= Q^TA^T(Q^T)^T
= Q^TAQ
= B
所以B为对称矩阵.
又因为A为实矩阵,则其特征值都是实数,故特征向量为实向量
所以Q是实矩阵
所以 B=Q^TAQ 是实对称矩阵
因为 A是对称矩阵
所以 A^T=A
所以 B^T = (Q^TAQ)^T
= Q^TA^T(Q^T)^T
= Q^TAQ
= B
所以B为对称矩阵.
又因为A为实矩阵,则其特征值都是实数,故特征向量为实向量
所以Q是实矩阵
所以 B=Q^TAQ 是实对称矩阵
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