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已知,函数f(x)=-2cosx^2-4ksinx-2k+1的最小值为g(k)
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已知,函数f(x)=-2cosx^2-4ksinx-2k+1的最小值为g(k)
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答案和解析
已知函数f(x)=-2cos^x-4ksinx-2k+1的最小值为g(k),k属于R
(1)求g(k)
(2)若g(k)=5,求常数k,及此时函数
(1)f(x)=﹣2cos²x-4ksinx-2k+1=﹣2(1-sin²x)-4ksinx-2k+1=2sin²x-4ksinx-2k-1
=2(sinx-k)²-2k²-2k-1
∵﹣1≤sinx≤1
∴当k<﹣1时,sinx=﹣1时f(x)取得最小值g(k)=2×(﹣1)²-4k×(﹣1)-2k-1=2k+1
当﹣1≤k≤1时,sinx=k时f(x)取得最小值g(k)=﹣2k²-2k-1
当k>1时,sinx=1时f(x)取得最小值g(k)=2×1²-4k×1-2k-1=1-6k
(2)∵g(k)=5
∴当k<﹣1时,g(k)=2k+1=5 k=2>﹣1 舍去
当k>1时,g(k)=1-6k=5 k=﹣2/3<1 舍去
当﹣1≤k≤1时,g(k)=﹣2k²-2k-1=5 ∴k²+k+3=0 无解
(1)求g(k)
(2)若g(k)=5,求常数k,及此时函数
(1)f(x)=﹣2cos²x-4ksinx-2k+1=﹣2(1-sin²x)-4ksinx-2k+1=2sin²x-4ksinx-2k-1
=2(sinx-k)²-2k²-2k-1
∵﹣1≤sinx≤1
∴当k<﹣1时,sinx=﹣1时f(x)取得最小值g(k)=2×(﹣1)²-4k×(﹣1)-2k-1=2k+1
当﹣1≤k≤1时,sinx=k时f(x)取得最小值g(k)=﹣2k²-2k-1
当k>1时,sinx=1时f(x)取得最小值g(k)=2×1²-4k×1-2k-1=1-6k
(2)∵g(k)=5
∴当k<﹣1时,g(k)=2k+1=5 k=2>﹣1 舍去
当k>1时,g(k)=1-6k=5 k=﹣2/3<1 舍去
当﹣1≤k≤1时,g(k)=﹣2k²-2k-1=5 ∴k²+k+3=0 无解
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