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如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,点E与点D关于直线AB对称,连接AE、BE.(1)求BD:DC;(2)将图1中的△ABE绕点B逆时针方向旋转到△A1BE1.连接A1C、AE1,如图2所
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如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,点E与点D关于直线AB对称,连接AE、BE.
(1)求BD:DC;
(2)将图1中的△ABE绕点B逆时针方向旋转到△A1BE1.连接A1C、AE1,如图2所示,求线段AE1与A1C的数量关系及它们所夹锐角的度数.
(1)求BD:DC;
(2)将图1中的△ABE绕点B逆时针方向旋转到△A1BE1.连接A1C、AE1,如图2所示,求线段AE1与A1C的数量关系及它们所夹锐角的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,连接AD,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠C=30°,
∵AB的垂直平分线交BC于点D,
∴BD=AD,
∴∠BAD=∠ABC=30°,
∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=90°,
在Rt△ACD中,∠C=30°,
∴AD:DC=1;2,
∴BD:DC=1:2;
(2)如图2,过点A作AF⊥BC交于点F,则BC=2BF,
由(1)可知△ADB中,AD=BD,∠ADB=120°,
∵点E与点D关于直线AB对称,
∴AE=BE,∠BEA=120°,
∵△ABE绕点B逆时针方向旋转到△A1BE1.
∴A1E1=E1B,∠A1E1B=120°,
∴∠2=30°,
∵∠1=30°,∠BAC=120°,
∴△A1E1B∽△ABC,
∴
=
,∠E1AB=∠A1CB,
∵∠1=30°,cos∠1=
,
∴
=
,
∴BC=
AB,
∴
=
=
,
设A1C分别交AE1,AB于点M和N,
∵∠ANM=∠BNC,且∠NAM=∠NCB,
∴∠AMN=∠1=30°,
∴AE1与A1C的夹角的度数为30°,
∴线段AE1与A1C的数量关系及它们所夹锐角的度数分别是A1C=
AE1和30°.
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠C=30°,
∵AB的垂直平分线交BC于点D,
∴BD=AD,
∴∠BAD=∠ABC=30°,
∴∠DAC=∠BAC=∠BAD=90°,
在Rt△ACD中,∠C=30°,
∴AD:DC=1;2,
∴BD:DC=1:2;
(2)如图2,过点A作AF⊥BC交于点F,则BC=2BF,
由(1)可知△ADB中,AD=BD,∠ADB=120°,
∵点E与点D关于直线AB对称,
∴AE=BE,∠BEA=120°,
∵△ABE绕点B逆时针方向旋转到△A1BE1.
∴A1E1=E1B,∠A1E1B=120°,
∴∠2=30°,
∵∠1=30°,∠BAC=120°,
∴△A1E1B∽△ABC,
∴
E1B |
AB |
A1B |
BC |
∵∠1=30°,cos∠1=
BE |
AB |
∴
BE |
AB |
| ||
2 |
∴BC=
3 |
∴
AE1 |
A1C |
AB |
BC |
| ||
3 |
设A1C分别交AE1,AB于点M和N,
∵∠ANM=∠BNC,且∠NAM=∠NCB,
∴∠AMN=∠1=30°,
∴AE1与A1C的夹角的度数为30°,
∴线段AE1与A1C的数量关系及它们所夹锐角的度数分别是A1C=
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