如果一个数的奇约数个数有2m个（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3的奇约数有1，3，一共2=21，所以3是一个“中环数”．再比如21的奇约数有1，3，7，21，4=22，所以21也是

Question

如果一个数的奇约数个数有2^m个（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3的奇约数有1，3，一共2=2¹，所以3是一个“中环数”．再比如21的奇约数有1，3，7，21，4=2²，所以21 也是一个中环数．我们希望能找到n个连续的中环数．求n的最大值．如果一个数的奇约数个数有2^m个（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3的奇约数有1，3，一共2=2¹，所以3是一个“中环数”．再比如21的奇约数有1，3，7，21，4=2²，所以21 也是一个中环数．我们希望能找到n个连续的中环数．求n的最大值．^m12

Answer 1

根据分析，将一个数分解质因数，得到N=

p

a1 1

×

p

a2 2

×…×

p

an n

，则这个数约数的个数为（a₁+1）×（a₂+1）×…×（a_n+1），
而事实上，一个数的奇约数个数也可以用类似的求法，由于乘法中遇偶得偶，所以将一个奇数分解质因数，
那么得到的质因子均为奇数，所以将一个数分解质因数，得到N=

p

a1 1

×

p

a2 2

×…×

p

an n

（a₁可以为0），
则N的奇约数个数为（a₂+1）×（a₃+1）×…×（a_n+1）．现在我们要写出连续的n 个数，
使得每个数均有（a₂+1）×（a₃+1）×…×（a_n+1）=2^m，
首先证明n≤17，观察如下三个数：3²×k，3²×（k+1），3²×（k+2），
易知，k，k+1，k+2中有且仅有1个是3的倍数，
∴3²×k，3²×（k+1），3²×（k+2）这三个数中，有两个数分解质因数的形式为：
N=

2

a0 1

×32×

p

a1 1

×…×

p

an n

（a₀可以为0），形如这样的数，奇约数个数为3×（a₁+1）×…×（a_n+1）不可能是2的幂，
即不符合要求，因此3²×k，3²×（k+1），3²×（k+2）这三个数中至少有2个不符合要求，
即连续3个9的倍数中，至少有2个数不是“中环数”，
若n≥18，易知，其中必有2个9的倍数，其中必有1个不是中环数，
因此，n≤17，这17个连续的数是：
127、128、129、130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142、143，
这17个数的奇约数个数分别是：2、1、4、4、2、4、4、2、8、2、2、4、2、4、4、2、4，
因此n 的最大值为17．
故答案是：17． N=

p

a1 1

p

a1

1

p

a1

1

pp

a1

1

a1

a11

1

1×

p

a2 2

p

a2

2

p

a2

2

pp

a2

2

a2

a22

2

2×…×

p

an n

p

an

n

p

an

n

pp

an

n

an

ann

n

n，则这个数约数的个数为（a₁1+1）×（a₂2+1）×…×（a_nn+1），
而事实上，一个数的奇约数个数也可以用类似的求法，由于乘法中遇偶得偶，所以将一个奇数分解质因数，
那么得到的质因子均为奇数，所以将一个数分解质因数，得到N=

p

a1 1

×

p

a2 2

×…×

p

an n

（a₁可以为0），
则N的奇约数个数为（a₂+1）×（a₃+1）×…×（a_n+1）．现在我们要写出连续的n 个数，
使得每个数均有（a₂+1）×（a₃+1）×…×（a_n+1）=2^m，
首先证明n≤17，观察如下三个数：3²×k，3²×（k+1），3²×（k+2），
易知，k，k+1，k+2中有且仅有1个是3的倍数，
∴3²×k，3²×（k+1），3²×（k+2）这三个数中，有两个数分解质因数的形式为：
N=

2

a0 1

×32×

p

a1 1

×…×

p

an n

（a₀可以为0），形如这样的数，奇约数个数为3×（a₁+1）×…×（a_n+1）不可能是2的幂，
即不符合要求，因此3²×k，3²×（k+1），3²×（k+2）这三个数中至少有2个不符合要求，
即连续3个9的倍数中，至少有2个数不是“中环数”，
若n≥18，易知，其中必有2个9的倍数，其中必有1个不是中环数，
因此，n≤17，这17个连续的数是：
127、128、129、130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142、143，
这17个数的奇约数个数分别是：2、1、4、4、2、4、4、2、8、2、2、4、2、4、4、2、4，
因此n 的最大值为17．
故答案是：17． N=

p

a1 1

p

a1

1

p

a1

1

pp

a1

1

a1

a11

1

1×

p

a2 2

p

a2

2

p

a2

2

pp

a2

2

a2

a22

2

2×…×

p

an n

p

an

n

p

an

n

pp

an

n

an

ann

n

n（a₁1可以为0），
则N的奇约数个数为（a₂2+1）×（a₃3+1）×…×（a_nn+1）．现在我们要写出连续的n 个数，
使得每个数均有（a₂2+1）×（a₃3+1）×…×（a_nn+1）=2^mm，
首先证明n≤17，观察如下三个数：3²2×k，3²2×（k+1），3²2×（k+2），
易知，k，k+1，k+2中有且仅有1个是3的倍数，
∴3²2×k，3²2×（k+1），3²2×（k+2）这三个数中，有两个数分解质因数的形式为：
N=

2

a0 1

×32×

p

a1 1

×…×

p

an n

（a₀可以为0），形如这样的数，奇约数个数为3×（a₁+1）×…×（a_n+1）不可能是2的幂，
即不符合要求，因此3²×k，3²×（k+1），3²×（k+2）这三个数中至少有2个不符合要求，
即连续3个9的倍数中，至少有2个数不是“中环数”，
若n≥18，易知，其中必有2个9的倍数，其中必有1个不是中环数，
因此，n≤17，这17个连续的数是：
127、128、129、130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142、143，
这17个数的奇约数个数分别是：2、1、4、4、2、4、4、2、8、2、2、4、2、4、4、2、4，
因此n 的最大值为17．
故答案是：17． N=

2

a0 1

2

a0

1

2

a0

1

22

a0

1

a0

a00

1

1×32×

p

a1 1

×…×

p

an n

（a₀可以为0），形如这样的数，奇约数个数为3×（a₁+1）×…×（a_n+1）不可能是2的幂，
即不符合要求，因此3²×k，3²×（k+1），3²×（k+2）这三个数中至少有2个不符合要求，
即连续3个9的倍数中，至少有2个数不是“中环数”，
若n≥18，易知，其中必有2个9的倍数，其中必有1个不是中环数，
因此，n≤17，这17个连续的数是：
127、128、129、130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142、143，
这17个数的奇约数个数分别是：2、1、4、4、2、4、4、2、8、2、2、4、2、4、4、2、4，
因此n 的最大值为17．
故答案是：17． 2×

p

a1 1

p

a1

1

p

a1

1

pp

a1

1

a1

a11

1

1×…×

p

an n

p

an

n

p

an

n

pp

an

n

an

ann

n

n（a₀0可以为0），形如这样的数，奇约数个数为3×（a₁1+1）×…×（a_nn+1）不可能是2的幂，
即不符合要求，因此3²2×k，3²2×（k+1），3²2×（k+2）这三个数中至少有2个不符合要求，
即连续3个9的倍数中，至少有2个数不是“中环数”，
若n≥18，易知，其中必有2个9的倍数，其中必有1个不是中环数，
因此，n≤17，这17个连续的数是：
127、128、129、130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142、143，
这17个数的奇约数个数分别是：2、1、4、4、2、4、4、2、8、2、2、4、2、4、4、2、4，
因此n 的最大值为17．
故答案是：17．