一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)（x+m）,已知f[f(x)]=16x+5一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)（x+m）,已知f[f(x)]=16x+5①求fx②若gx在（1,+oo）单调递增,求实数m的取值范围③当x∈[-1,3]时,gx有最大值

Question

一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)（x+m）,已知f[f(x)]=16x+5
一次函数f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)（x+m）,已知f[f(x)]=16x+5
①求fx
②若gx在（1,+oo）单调递增,求实数m的取值范围
③当x∈[-1,3]时,gx有最大值13,求实数m的值

Answer 1

（1）设f(x)=ax+b,则f[f(x)]=a(ax+b)+b=(a^2)x+(a+1)b=16x+5.
因为f(x)是R上的增函数,故a=4,b=1.f(x)=4x+1
（2）g(x)=(4x+1)(x+m)=4x^2+(4m+1)x+m,其对称轴为x=-(4m+1)/8
因为g(x)在(1,+∞)单调递增,故对称轴应在x=1的左边,即-(4m+1)/8≤1,m≥-9/4
（3）因为g(x)开口向上,故闭区间上的最大值只能在区间端点处取得.
若g(-1)=13,m=-10/3,此时g(3)=-13/3.g(-1)>g(3),g(x)在x=-1处取得最大值13.
若g(3)=13,m=-2,此时g(-1)=9.g(3)>g(-1),g(x)在x=3处取得最大值13.
故m=-10/3或m=-2.