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如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证:△AMB≌△ENB;(2)①当M点在何处时,AM+CM
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如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
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(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
+1时,求正方形的边长.
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(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△ABE是等边三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠MBA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS).
(2) ①当M点落在BD的中点时,A、M、C三点共线,AM+CM的值最小.
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小.
理由如下:连接MN,由(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
(3) 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2018-07/28/1532752663-6224.jpg)
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°.
设正方形的边长为x,则BF=
x,EF=
.
在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴(
)2+(
x+x)2=(
+1)2.
解得,x1=
,x2=-
(舍去负值).
∴正方形的边长为
.
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∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠MBA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS).
(2) ①当M点落在BD的中点时,A、M、C三点共线,AM+CM的值最小.
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小.
理由如下:连接MN,由(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
(3) 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,
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∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°.
设正方形的边长为x,则BF=
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在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2,
∴(
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解得,x1=
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∴正方形的边长为
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