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如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F,求证:FD2=FB×FC.
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如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F,求证:FD2=FB×FC.
▼优质解答
答案和解析
如图:
连接AF,∵EF垂直平分AD,
∴FA=FD.∠FAD=∠FDA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
在△FAC和△FBA中,
∠AFC=∠BFA,
∠ACF=∠B+2∠BAD=∠FDA+∠BAD=∠FAD+∠BAD=∠BAF.
∴△ACF∽△BAF,
∴
=
.
∴AF2=BF•FC.
又∵FA=FD
∴FD2=FB•FC.
连接AF,∵EF垂直平分AD,
∴FA=FD.∠FAD=∠FDA,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
在△FAC和△FBA中,
∠AFC=∠BFA,
∠ACF=∠B+2∠BAD=∠FDA+∠BAD=∠FAD+∠BAD=∠BAF.
∴△ACF∽△BAF,
∴
CF |
AF |
AF |
BF |
∴AF2=BF•FC.
又∵FA=FD
∴FD2=FB•FC.
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