高等数学无穷小量已知函数y=y(x)在任意点x处的增量△y=（y△x/1+x∧2）+a,a是比△x高阶的无穷小,△x趋向于0,且y(0)=1则y(1)=?

Question

高等数学无穷小量
已知函数y=y(x)在任意点x处的增量△y=（y△x/1+x∧2）+a,a是比△x高阶的无穷小,△x趋向于0,且y(0)=1则y(1)=?

Answer 1

因为lim（△x→0）△y=0
所以,原式转化为
dy=ydx/(1+x^2)+a;
(1/y)*dy/dx=1/(1+x^2)+a
∫((1/y)*dy/dx)dx=∫(1/(1+x^2)+a)dx
∫(1/y)dy=∫(1/(1+x^2))dx
ln|y|=arctanx+C
y=Ce^arctanx
由y(0)=1 可得 C=1;
所以y(1)=e^arctan1 =e^(π/4)