已知函数f（x）=loga（x+1）-loga（1-x），a＞0且a≠1（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＜0成立的x的取值范围．

Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）＜0成立的x的取值范围．

Answer 1

（1）由函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1，
可得

x+1＞0

1−x＞0

，解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）．
（2）由f（x）=log_a(1+x)/(1−x)，且定义域关于原点对称，
f（-x）=log_a(1−x)/(1+x)=-log_a(1+x)/(1−x)=-f（x），故函数为奇函数．
（3）当a＞1时，由f（x）＜0可得 0＜(1+x)/(1−x)＜1，即

(x+1)/(x−1)＜0

(2x)/(x−1)＞0

，
即

(x+1)(x−1)＜0

2x(x−1)＞0

，解得-1＜x＜0．