任给n>=2,证明:存在n个互不相同的正整数,其中任意两个的和,整除这n个数的积

Question

任给n>=2,证明:存在n个互不相同的正整数,其中任意两个的和,整除这n个数的积

Answer 1

令an = 8n-4
归纳证明{an}满足要求
显然n=2时,a1=4,a2=12满足要求
假设n=k时成立
n=k+1时
只需证明a(k+1)+a1,a(k+1)+a2,……,a(k+1)+ak可以整除a1a2……aka(k+1)
a(k+1)+a1=ak+a2
a(k+1)+a2=ak+a3
……
a(k+1)+a(k-1)=2ak
a(k+1)+ak=16k
除了最后一个,前面由归纳假设知道可以整除a1a2……aka(k+1)
若k是奇数,则a1a2……aka(k+1)可以表示为4^(k+1)乘以1到(2k+1)的全部奇数的乘积
k<2k+1,则k整除后面的乘积,16整除4^(k+1)
若k是偶数
设k=x*2^y,x是奇数
同上知道x整除后面的乘积
2^y <= k <4^(k+1)
所以2^y整除4^(k+1)
所以16k整除a1a2……aka(k+1)
n=k+1时也成立
所以结论成立