在三角形ABC中,∠ACB=45°,点D为射线BC上一动点,（与B、C不重合）,连接AD,以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF,（1）如果AB=AC,且点D在线段BC上运动,试判断CF与BD间的位置关系,并证明你的结论（2）如果

Question

在三角形ABC中,∠ACB=45°,点D为射线BC上一动点,（与B、C不重合）,连接AD,
以AD为一边在AD右侧作正方形ADEF,（1）如果AB=AC,且点D在线段BC上运动,试判断CF与BD间的位置关系,并证明你的结论（2）如果AB不等于AC,且点D在线段BC延长线上运动,此时（1）中结论是否成立?证明你的结论

Answer 1

（1）CF与BD位置关系是垂直；
证明如下：
∵AB=AC,∠ACB=45°,
∴∠ABC=45°．
由正方形ADEF得AD=AF,
∵∠DAF=∠BAC=90°,
∴∠DAB=∠FAC,
∴△DAB≌△FAC（SAS）,
∴∠ACF=∠ABD．
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．
即CF⊥BD．
（2）AB≠AC时,CF⊥BD的结论成立．
理由是：
过点A作AG⊥AC交BC于点G,
∴AC=AG,
同理可证：△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°,∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD．