（2012•东莞）如图，抛物线y=12x2-32x-9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交A

Question

（2012•东莞）如图，抛物线y=(1)/(2)x²-(3)/(2)x-9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．

（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

Answer 1

（1）已知：抛物线y=(1)/(2)x²-(3)/(2)x-9；
当x=0时，y=-9，则：C（0，-9）；
当y=0时，(1)/(2)x²-(3)/(2)x-9=0，得：x₁=-3，x₂=6，则：A（-3，0）、B（6，0）；
∴AB=9，OC=9．
（2）∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴(S△AED)/(S△ABC)=（(AE)/(AB)）²，即：(s)/((1)/(2)×9×9)=（(m)/(9)）²，得：s=(1)/(2)m²（0＜m＜9）．
（3）解法一：∵S_△ACE=(1)/(2)AE•OC=(1)/(2)m×9=(9)/(2)m，
∴S_△CDE=S_△ACE-S_△ADE=(9)/(2)m-(1)/(2)m²=-(1)/(2)（m-(9)/(2)）²+(81)/(8)．
∵0＜m＜9，
∴当m=(9)/(2)时，S_△CDE取得最大值，最大值为(81)/(8)．此时，BE=AB-AE=9-(9)/(2)=(9)/(2)．
记⊙E与BC相切于点M，连接EM，则EM⊥BC，设⊙E的半径为r．
在Rt△BOC中，BC=√(CO2+BO2)