已知定义域为R的函数f（x）=（1-2^x）/[2^(x+1)+a]是奇函数.（1）求a的值（2）求函数f（x）的值域；（3）若对任意x∈[π/6，2π/3]，不等式f（k•cosx-5）+f（4）＞0恒成立，求实数k的取值范围。

Question

已知定义域为R的函数f（x）=（1-2^x）/[2^(x+1)+a]是奇函数.（1）求a的值
（2）求函数f（x）的值域；
（3）若对任意x∈[π/6，2π/3]，不等式f（k•cosx-5）+f（4）＞0恒成立，求实数k的取值范围。

Answer 1

（1）
f(x)是奇函数,
∴ f(1)=-f(-1)
即 f(1)+f(-1)=0
f(1)=-1/(4+a)
f(-1)=(1/2)/(1+a)
∴ -1/(4+a)+(1/2)/(1+a)=0
即 4+a=2(1+a)
∴ a=2
（2）
f(x)=(1-2^x)/(2^(x+1)+2)
=(1/2)(1-2^x)/(1+2^x)
=(1/2)[-1+2/(1+2^x)]
∵ 1+2^x>1
∴ 2/(1+2^x)∈(0,2)
∴ -1+ 2/(1+2^x)∈(-1,1)
即 f(x)∈(-1/2,1/2)
即 值域是(-1/2,1/2)
（3）
f(x)=(1/2)[-1+2/(1+2^x)]
则显然f(x)是减函数.
f(kcosx-5)>-f(4)=f(-4)
∴ kcosx-5≤-4恒成立
即 kcosx≤1恒成立
∵ cosx∈[-1/2,√3/2]
① k>0
kcosx的最大值是(√3/2)k≤1
∴ 0