（2014•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且AF=FC=CB，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=23，求⊙O的半径．

Question

（2014•新疆）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且

AF

=

FC

=

CB

，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2√(3)，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连结OC，如图，
∵

FC

=

BC

，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵

AF

=

FC

=

CB

，
∴∠BOC=(1)/(3)×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=2√(3)，
∴AC=2CD=4√(3)，
在Rt△ACB中，BC=(√(3))/(3)AC=(√(3))/(3)×4√(3)=4，
∴AB=2BC=8，
∴⊙O的半径为4．