已知数列{an}的前n项和的公式为Sn=32n-n2，求数列{|an|}的前n项和Sn′．

Question

已知数列{a_n}的前n项和的公式为S_n=32n-n²，求数列{|a_n|}的前n项和S_n′．

Answer 1

当n=1时，a₁=S₁=32-1=31．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=32n-n²-[32（n-1）-（n-1）²]=33-2n．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=33-2n．
令a_n≥0，解得n≤(33)/(2)，
∴当n≤16时，a_n＞0；当n≥17时，a_n＜0．
∴当n≤16时，数列{|a_n|}的前n项和S_n′=32n-n²．
当n≥17时，数列{|a_n|}的前n项和S_n′=S₁₆-a₁₇-a₁₈-…-a_n
=2S₁₆-S_n=2×（32×16-16²）-（32n-n²）
=n²-32n+512．
综上可知数列{|a_n|}的前n项和S_n′=

32n−n2，n≤16

n2−32n+512，n≥17

．