已知无穷数列{an}满足a1=2，数列是各项和等于的无穷等比数列，其中常数b是正整数．（1）求无穷等比数列的公比和数列{an}的通项公式；（2）在无穷等比数列{bn}中，b1=a1，b2=a2，试找出一个b

Question

已知无穷数列{a_n}满足a₁=2，数列是各项和等于的无穷等比数列，其中常数b是正整数．
（1）求无穷等比数列的公比和数列{a_n}的通项公式；
（2）在无穷等比数列{b_n}中，b₁=a₁，b₂=a₂，试找出一个b的具体值，使得数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中；试找出一个b的具体值，使得数列{b_n}的项不都在数列{a_n}中，简要说明理由；
（3）对于问题（2）继续进行研究，探究当且仅当b取怎样的值时，数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中，说明理由．

Answer 1

（1）利用无穷等比数列的求和公式，可得方程，从而求出公比，进而可求数列的通项；
（2）先求出数列{b_n}的通项公式，再赋值验证；
（3）当b取奇数时，b₃∉{a_n}；当b取偶数时，数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中，再作证明．
【解析】
（1）由即得，--------------（2分）∴∴a_n=2+（n-1）b，n∈N^*-----------------------------------------------（5分）
（2）∵a₁=2，∴a₂=2+b，又b₁=a₁，b₂=a₂∴，n∈N^*-------------------（6分）
取b=2，则a_n=2n，n∈N^*，b_n=2ⁿ，n∈N^*∴数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中．------------------------（8分）
取b=1，则a_n=n+1，n∈N^*，，n∈N^*∴，∴数列{b_n}的项不都在数列{a_n}中．---------（10分）
（3）当b取奇数时，b₃∉{a_n}；当b取偶数时，数列{b_n}的任意项都在数列{a_n}中．
证明：b_n=2×（k+1）^n-1=2（C_n-1k^n-1+C_n-1¹k^n-2+…+C_n-1^n-2k+C_n-1^n-1）=2+2k[（C_n-1k^n-2+C_n-1¹k^n-3+…+C_n-1^n-2+1）-1]
是数列{a_n}中的第C_n-1k^n-2+C_n-1¹k^n-3+…+C_n-1^n-2+1项----------------（18分）