一道关于Lagrange中值定理的问题f(t)=t^2*sin(1/t)[t不等于0]0[t=0],在[0,x]上用Lagrange中值定理,得x^2*sin(1/x)=x(2ξsin(1/ξ)-cos(1/ξ))(0

Question

一道关于Lagrange中值定理的问题
f(t)=t^2*sin(1/t)[t不等于0] 0[t=0],在[0,x]上用Lagrange中值定理,
得x^2*sin(1/x)=x(2ξsin(1/ξ)-cos(1/ξ)) (0

Answer 1

我给你两种解释,其实是一回事,只是换一种讲法
1. ξ是和x有关的,如果按照一定规则来选取ξ的话,可以把ξ看作关于x的函数ξ(x)
lim(x趋向0+)cos(1/ξ(x))=0
然而 lim(ξ趋向0+)cos(1/ξ) 当中的ξ只是一个记号,没有特殊含义,也可以写成 lim(x趋向0+)cos(1/x)
既然如此,cos(1/ξ(x))是一个函数,cos(1/x)是另一个函数,自然没有什么直接的推理途径.
2.lim(x趋向0+)cos(1/ξ)=0,当x趋向0+时,必有ξ趋向0+,这些都没错,但是“ξ趋向0+”是一个受迫的结果,而不像“x趋向0+”那样是一个自由的过程,所以当“ξ趋向0+”时ξ未必能取遍一切(0,d)中的点,所以不能继续把“ξ趋向0+”作为一个自由的变化趋势去推出lim(ξ趋向0+)cos（1/ξ）=0.