已知数列{an}相邻两项an,a(n+1)是方程x^2－Cn*x+(1/3)^n=0的两根,且a1=1,求证（1）a(n+2)/an=1/3,(2)求{Cn}的通项公式Cn.

Question

已知数列{an}相邻两项an,a(n+1)是方程x^2－Cn*x+(1/3)^n=0的两根,且a1=1,
求证（1）a(n+2)/an=1/3,(2)求{Cn}的通项公式Cn.

Answer 1

1
an,a(n+1)是方程x^2－Cn*x+(1/3)^n=0的两根,
an*a(n+1)=(1/3)^n
a(n+2)*a(n+1)=(1/3)^(n+1)
相除：a(n+2)/an=1/3
2
｛an｝隔项成等比数列!a1=1 a2=1/3/1=1/3
a3=1/3 a4=1/9 a5=1/9...
n为奇数时：an=1/3^[(n－1)/2] (n为奇数,an是第n项,是奇数列的第（n＋1）/2项）
a(n+2)=1/3^[(n+1)/2]
n+1为偶数,结合上面规律(a1=1 a2=1/3/1=1/3
a3=1/3 a4=1/9 a5=1/9...)
我们知道!a(n+1)=a(n+2)
Cn=1/3^[(n－1)/2] +1/3^[(n+1)/2] =4/3^[(n+1)/2]
n为偶数时：an=1/3^（n/2） (n为偶数,an是第n项,是偶数列的第n/2项）
n+1为奇数,结合上面规律(a1=1 a2=1/3/1=1/3
a3=1/3 a4=1/9 a5=1/9...)
我们知道!a(n+1)=an
Cn=2/3^（n/2）