在锐角三角形中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足条件sin22B+sin2BsinB+cos2B=1．（Ⅰ）求∠B的值；（Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值．

Question

在锐角三角形中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足条件sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值．

Answer 1

（1）∵sin²2B+sin2BsinB+cos2B=1，∴4sin²Bcos²B+2sin²BcosB-2sin²B=0，
即2sin²B（2cosB-1）（cosB+1）=0．
又△ABC为锐角三角形，∴2cosB-1=0，即∠B=(π)/(3)．
（Ⅱ）若b=3，由上可得∠B=(π)/(3)，由余弦定理可得 cosB=(a2+c2−b2)/(2ac)=(1)/(2)，
∴b²=9=a²+c²-2ac×(1)/(2)=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-(3)/(4) （a+c）²=((a+c)/(2))2，
∴a+c≤6，即a+c的最大值为6．