△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角，①求最大角的余弦值；②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．

Question

△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大内角为钝角，
①求最大角的余弦值；  
②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．

Answer 1

（1）设△ABC的三边a、b、c的长度分别为n-1、n、n+1（n∈N^*且n＞1），
∵（n-1）+n＞n+1，∴n＞2，得n是大于3的整数
∵△ABC是钝角三角形，可得∠C为钝角，有cosC＜0，
由余弦定理得：（n+1）²=（n-1）²+n²-2n（n-1）•cosC＞（n-1）²+n²，
即（n-1）²+n²＜（n+1）²⇒n²-4n＜0⇒0＜n＜4，
因此，整数n的值为3，可得△ABC三边长分别为2，3，4．
∵cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(4+9-16)/(2×2×3)=-(1)/(4)
∴最大角的余弦值为-(1)/(4)
（2）由（1）得，最大角C的正弦为sinC=√(1-cos2C)=(√(15))/(4)，
设夹角C的平行四边形两边分别为m、n，
∵m+n=4，∴mn≤((m+n)/(2))2=4，当且仅当m=n=2时，mn的最大值为4
因此，平行四边形的面积S=mnsinC=(√(15))/(4)mn≤(√(15))/(4)×4=√(15)
∴当平行四边形两边都等于2时，夹角C的平行四边形面积最大值为√(15)．