在三角形中,SinA(sinB+cosB)-sinC等于0,sinB+cos2C等于0,求A,B,C

Question

在三角形中,SinA(sinB+cosB)-sinC等于0,sinB+cos2C等于0,求A,B,C

Answer 1

sinC=sin（A+B)
∴sinAsinB+sinAcosB=sin(A+B)
∴sinAsinB+sinAcosB =sinAcosB+cosAsinB
移项得 sinA=cosA ∴ A=45° ∴B+C=135°
sinB+cosB=√2*sin（B+45°）
√2/2 *√2*sin（B+45°）=sinC
sin（B+45°）=sinC
∵sinB+cos2C=0
sin（A+C)+cos2C=0
√2/2 （sinC+cosC)+cos²C-sin²C=0
（√2/2 +cosC-sinC）（sinC+cosC）=0
若√2/2 +cosC-sinC=0
√2sin（C+45°）=√2/2 （C+45°≠30°,∴C+45°只能等于150°）
C=105° B=30°
若sinC+cosC=0
C=135°,但A已经=45°,所以此解舍去.
若直接把C=135°-B代入第二个式子,也可得出B=60°,C=75°
综上可知A=45°,B=30°,C=105°或A=45°,B=60°,C=75°