求微分方程y″+y′=x2的通解．

Question

求微分方程y″+y′=x²的通解．

Answer 1

对应齐次方程的特征方程为 λ²+λ=0，
特征根为 λ₁=0，λ₂=-1．
故齐次方程的通解为 y₁=C₁+C₂ e^-x．
因为非齐次项为 f（x）=x²=x²e⁰，且0 为单重特征根，
故可设原方程的通解为 y*=x（ax²+bx+c）．
代入原方程，可得
a=(1)/(3)，b=-1，c=2，
故 y*=(1)/(3)x3-x²+2x．
由线性微分方程解的结构定理可得，原方程的通解为
y=y₁+y*=C₁+C₂ e^-x+(1)/(3)x3-x²+2x．