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已知三次函数f(x)=x3+ax2-6x+b,a、b为实数,f(0)=1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为-6.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f(x)≤|2m-1|对任意的x∈(-2,2)恒成立,求实
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已知三次函数f(x)=x3+ax2-6x+b,a、b为实数,f(0)=1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为-6.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)≤|2m-1|对任意的x∈(-2,2)恒成立,求实数m的取值范围.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(x)≤|2m-1|对任意的x∈(-2,2)恒成立,求实数m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)f'(x)=3x2+2ax-6 …(1分)
由导数的几何意义,f'(1)=-6
∴a=-
…(2分)
∵f(0)=1∴b=1 …(3分)
∴f(x)=x3-
x2-6x+1 …(4分)
(2)f'(x)=3x2-3x-6=3(x+1)(x-2)
令f'(x)=0得x1=-1,x2=2 …(5分)
当x∈(-2,-1)时,f'(x)>0,f(x)递增;
当x∈(-1,2)时,f'(x)<0,f(x)递减.…(7分)
∴在区间(-2,2)内,函数f(x)的最大值为f(-1)=
…(8分)
∵f(x)≤|2m-1|对任意的x∈(-2,2)恒成立
∴|2m-1|≥
…(10分)
∴2m-1≥
2m-1≤-
∴m≥
或m≤-
…(12分)
由导数的几何意义,f'(1)=-6
∴a=-
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∵f(0)=1∴b=1 …(3分)
∴f(x)=x3-
3 |
2 |
(2)f'(x)=3x2-3x-6=3(x+1)(x-2)
令f'(x)=0得x1=-1,x2=2 …(5分)
当x∈(-2,-1)时,f'(x)>0,f(x)递增;
当x∈(-1,2)时,f'(x)<0,f(x)递减.…(7分)
∴在区间(-2,2)内,函数f(x)的最大值为f(-1)=
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∵f(x)≤|2m-1|对任意的x∈(-2,2)恒成立
∴|2m-1|≥
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∴2m-1≥
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∴m≥
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