如图，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF（1）若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．（2）求证：BE2+CF2=EF2．

Question

如图，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，D是斜边BC上的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF
（1）若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
（2）求证：BE²+CF²=EF²．

Answer 1

（1）连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED与△CFD中，

∠EDA＝∠CDF

AD＝CD

∠EAD＝∠C

，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE=CF，
同理△AED≌△CFD，
∴AF=BE．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=DE²+DF²，
∴BE²+CF²=EF²；
∵BE=12，CF=5，
∵EF=13，
∵△BDE≌△ADF，
∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°．
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴在Rt△EDF中，由勾股定理得：ED²+DF²=13²，
DE=DF=(13√(2))/(2)，
∴△DEF的面积S=(1)/(2)×DE×DF=(1)/(2)×(13√(2))/(2)×(13√(2))/(2)=(169)/(4)；

（2）证明：连接AD，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED与△CFD中，

∠EDA＝∠CDF

AD＝CD

∠EAD＝∠C

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
同理△AED≌△CFD，
∴AF=BE．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=DE²+DF²，
∴BE²+CF²=EF²．