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已知△ABC为边长为10的等边三角形,D是BC边上一动点:①如图1,点E在AC上,且BD=CE,BE交AD于F,当D点滑动时,∠AFE的大小是否变化?若不变,请求出其度数.②如图2,过点D作∠ADG=60°与∠ACB
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已知△ABC为边长为10的等边三角形,D是BC边上一动点:
①如图1,点E在AC上,且BD=CE,BE交AD于F,当D点滑动时,∠AFE的大小是否变化?若不变,请求出其度数.
②如图2,过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G,当点D在BC上滑动时,有下列两个结论:①DC+CG的值为定值;②DG-CD的值为定值.其中有且只有一个是正确的,请你选择正确的结论加以证明并求出其值.
①如图1,点E在AC上,且BD=CE,BE交AD于F,当D点滑动时,∠AFE的大小是否变化?若不变,请求出其度数.
②如图2,过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G,当点D在BC上滑动时,有下列两个结论:①DC+CG的值为定值;②DG-CD的值为定值.其中有且只有一个是正确的,请你选择正确的结论加以证明并求出其值.
▼优质解答
答案和解析
①∠AFE的大小不变,其度数为60°,理由为:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°,
在△ABD和△BCE中,
,
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴∠BAD=∠CBE,
又∠BAD+∠ADB=120°,
∴∠CBE+∠ADB=120°,
∴∠BFD=60°,
则∠AFE=∠BFD=60°;
②正确的结论为:DC+CG的值为定值,理由如下:
连接AG,如图2所示:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°,
又CG为∠ACB的外角平分线,
∴∠ACG=60°,
又∵∠ADG=60°,
∴∠ADG=∠ACG,即A,D,C,G四点共圆,
∴∠DAG+∠DCG=180°,又∠DCG=120°,
∴∠DAG=60°,即∠DAC+∠CAG=60°,
又∵∠BAD+∠DAC=60°,
∴∠BAD=∠GAC,
在△ABD和△ACG中,
∵
,
∴△ABD≌△ACG(ASA),
∴DB=GC,又BC=10,
则BC=BD+DC=DC+CG=10,即DC+CG的值为定值.
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°,
在△ABD和△BCE中,
|
∴△ABD≌△BCE(SAS),
∴∠BAD=∠CBE,
又∠BAD+∠ADB=120°,
∴∠CBE+∠ADB=120°,
∴∠BFD=60°,
则∠AFE=∠BFD=60°;
②正确的结论为:DC+CG的值为定值,理由如下:
连接AG,如图2所示:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°,
又CG为∠ACB的外角平分线,
∴∠ACG=60°,
又∵∠ADG=60°,
∴∠ADG=∠ACG,即A,D,C,G四点共圆,
∴∠DAG+∠DCG=180°,又∠DCG=120°,
∴∠DAG=60°,即∠DAC+∠CAG=60°,
又∵∠BAD+∠DAC=60°,
∴∠BAD=∠GAC,
在△ABD和△ACG中,
∵
|
∴△ABD≌△ACG(ASA),
∴DB=GC,又BC=10,
则BC=BD+DC=DC+CG=10,即DC+CG的值为定值.
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