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在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=32，CD=2，求AG的长度

题目详情

在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=3

，CD=2，求AG的长度；
（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；
（3）当∠BAC=∠DCF=α时，试探究AG与DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．
作业搜

▼优质解答

答案和解析

（1）如图1，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
作业搜

∵四边形DCEF是正方形，
∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BC的中点，
∴BG=EG，
在△BGH和△EGD中，
∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG，
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DCF=90°，
∴∠DCB=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠ABH=∠ACD=45°，
在△ABH和△ACD中，
∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD，
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∵∠BAH+∠HAC=90°，
∴∠CAD+∠HAC=90°，
即∠HAD=90°，
∴AG⊥GD，AG=GD；
在Rt△ABC中，AB=AC=

，
∴BC=6
在Rt△DCH中，DC=2，HC=BC-BH=6-2=4，
∴DH=

HC2+DC2

，
∴GD=

DH=

，
∴AG=GD=

．
（2）AG⊥GD，AG=DG；
证明如下：如图2，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
作业搜

∵四边形DCEF是正方形，
∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BC的中点，
∴BG=EG，在△BGH和△EGD中，
∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG，
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60，
∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，
∴∠ABC=∠ACD=60°，
在△ABH和△ACD中，
∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD，
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∴∠BAC=∠HAD=60°，
∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°，
∴tan∠DAG=tan30°=

，
∴AG=DG；
（3）如图3，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，

∵四边形DCEF是正方形，
∴DE=DC，DC∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BC中点，
∴BG=EG，
∴△BGH△≌△EGD，
∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=DCF=α，
∴∠ABC=90°-

，∠ACD=90°-

，
∴∠ABC=ACD，
∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD，
∴△ABH≌△ACD，
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∴∠BAC=HAD=α，
∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=

，
∴tan∠DAG=tan

，
∴DG=AGtan