已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．（1）四边形EFGH的形状是，并证明你的结论．（2）当四

Question

已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是______，并证明你的结论．
（2）当四边形ABCD的对角线满足条件______时，四边形EFGH是矩形；
（3）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？
（4）当四边形ABCD的对角线满足条件______时，四边形EFGH是菱形．

Answer 1

（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连结BD．
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=(1)/(2)BD，
同理FG∥BD，FG=(1)/(2)BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：
如图，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴平行四边形EFGH是矩形；
（3）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：
如图，连结AC、BD．
∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，
∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=(1)/(2)BD，FG=(1)/(2)BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，
∴平行四边形EFGH是矩形；
（4）添加的条件应为：AC=BD．
证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=(1)/(2)AC；同理EF∥AC且EF=(1)/(2)AC，同理可得EH=(1)/(2)BD，
则HG∥EF且HG=EF，
∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形．
故答案为：平行四边形；互相垂直；菱形，AC=BD．