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操作探究:数学研究课上,老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时,出示如图1所示的长方形纸条ABCD,其中AD=BC=1,AB=CD=5.然后在纸条上任意画一条截线段MN,将纸片沿MN折叠,MB与DN交于

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操作探究:
数学研究课上,老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时,出示如图1所示的长方形纸条ABCD,其中AD=BC=1,AB=CD=5.然后在纸条上任意画一条截线段MN,将纸片沿MN折叠,MB与DN交于点K,得到△MNK.如图2所示:

探究:
(1)若∠1=70°,∠MKN=______°;
(2)改变折痕MN位置,△MNK始终是______ 三角形,请说明理由;
应用:
(3)爱动脑筋的小明在研究△MNK的面积时,发现KN边上的高始终是个不变的值.根据这一发现,他很快研究出△KMN的面积最小值为
1
2
,此时∠1的大小可以为______°
(4)小明继续动手操作,发现了△MNK面积的最大值.请你求出这个最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AM∥DN.
∴∠KNM=∠1.
∵∠1=70°,
∴∠KNM=∠KMN=∠1=70°,
∴∠MKN=40°.
故答案为:40;

(2)等腰,
理由:∵AB∥CD,∴∠1=∠MND,
∵将纸片沿MN折叠,∴∠1=∠KMN,∠MND=∠KMN,
∴KM=KN;
故答案为:等腰;

(3)如图2,当△KMN的面积最小值为
1
2
时,KN=BC=1,故KN⊥B′M,
∵∠NMB=∠KMN,∠KMB=90°,
∴∠1=∠NMB=45°,同理当将纸条向下折叠时,∠1=∠NMB=135°,
故答案为:45°或135°(只要写出一个即可);   

(4)分两种情况:
情况一:如图3,将矩形纸片对折,使点B与D重合,此时点K也与D重合.
MK=MB=x,则AM=5-x.
由勾股定理得12+(5-x)2=x2
解得x=2.6.
∴MD=ND=2.6.
S△MNK=S△MND=
1
2
×1×2.6=1.3.
情况二:如图4,将矩形纸片沿对角线AC对折,此时折痕即为AC.
MK=AK=CK=x,则DK=5-x.
同理可得MK=NK=2.6.
∵MD=1,
∴S△MNK=
1
2
×1×2.6=1.3.
△MNK的面积最大值为1.3.
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