已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BD上取BE=BO，连接AE，若∠BOE=75°，求：（1）∠OBE的度数．（2）说明△OAB的等边三角形的理由．（3）△ABE是什么三角形？为什么？（4）

Question

已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BD上取BE=BO，连接AE，若∠BOE=75°，求：
（1）∠OBE的度数．
（2）说明△OAB的等边三角形的理由．
（3）△ABE是什么三角形？为什么？
（4）求∠CAE的度数．

Answer 1

（1）∵BE=BO，∠BOE=75°，
∴∠BEO=∠BOE=75°，
∴∠OBE=180°-∠BOE-∠BEO=30°；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=(1)/(2)AC，OB=OD=(1)/(2)BD，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠ABC-∠OBE=90°-30°=60°，
∴△OAB的等边三角形；

（3）△ABE是等腰直角三角形．
证明：∵△OAB的等边三角形，
∴OB=AB，
∵BO=BE，
∴AB=BE，
∵∠ABC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形；

（4）∵△ABE是等腰直角三角形，△OAB的等边三角形，
∴∠BAE=45°，∠BAO=60°，
∴∠CAE=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15°． (1)/(2)111222AC，OB=OD=(1)/(2)BD，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠ABC-∠OBE=90°-30°=60°，
∴△OAB的等边三角形；

（3）△ABE是等腰直角三角形．
证明：∵△OAB的等边三角形，
∴OB=AB，
∵BO=BE，
∴AB=BE，
∵∠ABC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形；

（4）∵△ABE是等腰直角三角形，△OAB的等边三角形，
∴∠BAE=45°，∠BAO=60°，
∴∠CAE=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15°． (1)/(2)111222BD，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠ABC-∠OBE=90°-30°=60°，
∴△OAB的等边三角形；

（3）△ABE是等腰直角三角形．
证明：∵△OAB的等边三角形，
∴OB=AB，
∵BO=BE，
∴AB=BE，
∵∠ABC=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形；

（4）∵△ABE是等腰直角三角形，△OAB的等边三角形，
∴∠BAE=45°，∠BAO=60°，
∴∠CAE=∠BAO-∠BAE=60°-45°=15°．