如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD，垂足为M．（Ⅰ）求证：AM⊥PD；（Ⅱ）求三棱锥B-AMC的体积；（III）已知点N在AC上，当N点在什么位置时，使得

Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD，垂足为M．
（Ⅰ）求证：AM⊥PD；
（Ⅱ）求三棱锥B-AMC的体积；
（III）已知点N在AC上，当N 点在什么位置时，使得MN∥平面PBC．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．
又∵BA⊥AD，AD∩PA=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD．
∵BM⊥PD，AB∩BM=B，
∴PD⊥平面ABM．
∴PD⊥AM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：AM⊥PD．
∵在△PAD中，AP=AD=2，∴M是PD的中点．
过点M作MH⊥AD，则MH⊥底面ABCD，且MH=(1)/(2)AP＝1．
∴V_{三棱锥B-AMC}=(1)/(3)×S△ABC×MH=(1)/(3)×(1)/(2)×2×1×1=(1)/(3)．
（Ⅲ）连接BD，交AC于点N，当点N为对角线AC与BD的交点时，满足MN∥平面PBC．
证明：∵PM=MD，BN=ND，∴MN∥PB．
又MN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
∴MN∥平面PBC． (1)/(2)111222AP＝1．
∴V_{三棱锥B-AMC}三棱锥B-AMC=(1)/(3)×S△ABC×MH=(1)/(3)×(1)/(2)×2×1×1=(1)/(3)．
（Ⅲ）连接BD，交AC于点N，当点N为对角线AC与BD的交点时，满足MN∥平面PBC．
证明：∵PM=MD，BN=ND，∴MN∥PB．
又MN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
∴MN∥平面PBC． (1)/(3)111333×S△ABC×MH=(1)/(3)×(1)/(2)×2×1×1=(1)/(3)．
（Ⅲ）连接BD，交AC于点N，当点N为对角线AC与BD的交点时，满足MN∥平面PBC．
证明：∵PM=MD，BN=ND，∴MN∥PB．
又MN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
∴MN∥平面PBC． △ABC×MH=(1)/(3)×(1)/(2)×2×1×1=(1)/(3)．
（Ⅲ）连接BD，交AC于点N，当点N为对角线AC与BD的交点时，满足MN∥平面PBC．
证明：∵PM=MD，BN=ND，∴MN∥PB．
又MN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
∴MN∥平面PBC． (1)/(3)111333×(1)/(2)111222×2×1×1=(1)/(3)．
（Ⅲ）连接BD，交AC于点N，当点N为对角线AC与BD的交点时，满足MN∥平面PBC．
证明：∵PM=MD，BN=ND，∴MN∥PB．
又MN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
∴MN∥平面PBC． (1)/(3)111333．
（Ⅲ）连接BD，交AC于点N，当点N为对角线AC与BD的交点时，满足MN∥平面PBC．
证明：∵PM=MD，BN=ND，∴MN∥PB．
又MN⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
∴MN∥平面PBC．