已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1,3）,且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立,函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．（1） 求f（x）与g（x）的解析式；（2） 若F（x）=

Question

已知函数f（x）=x2+mx+n的图象过点（1,3）,且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立,函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）  求f（x）与g（x）的解析式；
（2）  若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围．

Answer 1

1、f（x）=x^2+mx+n的图像过点（1,3）,且f（-1+x）=f（-1-x）
所以f(1)=3即1+m+n=3,
且-m/2=-1
解得：m=2,n=0
所以f(x)=x²+2x
函数y=g（x）与y=f（x）的图像关于原点对称.设（x,y）为g(x)上任意点,则(-x,-y)在f(x)上.
于是-y=(-x)²+2*（-x）
所以g(x)=y=-x²+2x
2、F（x）=g（x）-λf（x）=-x²+2x-λ(x²+2x)=(-1-λ)x²+2(1-λ)x
若-1-λ=0即λ=-1,则F(x)=4x,在R上为增函数,显然符合条件
若-1-λ>0,则由[-1,1]上是增函数可知：-(1-λ)/(-1-λ)≤-1,解得λ若-1-λ<0,则由[-1,1]上是增函数可知：-(1-λ)/(-1-λ)≥1,解得-1综上可知,当λ=<0时,F（x）=g（x）-λf（x）在[-1,1]上是增函数