已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．（1）当a=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值；（2）当a∈（0，3）时，求函数y=f（x）在闭区间[1，2]上的最小值；（3）试讨论函数y=f（x）的图象与直线y=

Question

已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）当a=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（2）当a∈（0，3）时，求函数y=f（x）在闭区间[1，2]上的最小值；
（3）试讨论函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点个数．

Answer 1

（1）当a=1时，有x|x-1|+1=x
所以x=-1或x=1；
（2）f(x)=

x2-ax+1，x≥a

-x2+ax+1，x＜a

，
1°．当0＜a≤1时，x≥1≥a，这时，f（x）=x²-ax+1，对称轴x=(a)/(2)≤(1)/(2)＜1，
所以函数y=f（x）在区间[1，2]上递增，f（x）_min=f（1）=2-a；
2°．当1＜a≤2时，x=a时函数f（x）_min=f（a）=1；
3°．当2＜a＜3时，x≤2＜a，这时，f（x）=-x²+ax+1，对称轴x=(a)/(2)∈(1，(3)/(2))，
f（1）=a，f（2）=2a-3，∵（2a-3）-a=a-3＜0
所以函数f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）因为a＞0，所以a＞(a)/(2)，
所以y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上递增；y₂=-x²+ax+1在(-∞，(a)/(2))递增，在[(a)/(2)，a)上递减．
因为f（a）=1，所以当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
又f((a)/(2))=(a2)/(4)+1≥2•(a)/(2)•1=a，当且仅当a=2时，等号成立．
所以，当0＜a＜1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有1个交点；
当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当1＜a＜2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点；
当a=2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当a＞2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点．