为什么矩阵(A|E)=(E|A^-1)

Question

为什么矩阵(A|E)=(E|A^-1)

Answer 1

(A|E)=(E|A^-1)是矩阵A逆矩阵的一种求法,没有什么为什么吧.就是通过初等行变换把左边原来的A矩阵转换成单位矩阵,右面的原来的单位矩阵也同时做初等行变换,最后得到的矩阵即为A的逆矩阵
举个例子：
1 3 0
A= 2 5 0 求A得逆矩阵
1 -1 2
1 3 0 1 0 0
(A|E)= 2 5 0 0 1 0
1 -1 2 0 0 1
做初等行变换如下：
（1）第二行减去第一行的2倍得
1 3 0 1 0 0
0 -1 0 -2 1 0
1 -1 2 0 0 1
（2）第三行减去第一行得
1 3 0 1 0 0
0 -1 0 -2 1 0
0 -4 2 -1 0 1
（3）第一行加上第二行的3倍,第三行减去第二行的4倍,得
1 0 0 -5 3 0
0 -1 0 -2 1 0
0 0 2 7 -7 1
（4）第二行除以-1 ,第三行除以二,得
1 0 0 -5 3 0
0 1 0 2 -1 0
0 0 1 7/2 -7/2 1/2
所以A的逆矩阵为
-5 3 0
2 -1 0
7/2 -7/2 1/2