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如图,设四棱锥S-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=SC=2,SA=SB=2.(Ⅰ)求证:平面SAB⊥平面ABCD;(Ⅱ)求平面ADS与平面ABS所夹角的余弦值.
题目详情
如图,设四棱锥S-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=SC=2,SA=SB=
.
(Ⅰ)求证:平面SAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求平面ADS与平面ABS所夹角的余弦值.
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(Ⅰ)求证:平面SAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求平面ADS与平面ABS所夹角的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:连接AC,取AB的中点E,连接SE、EC,
∵SA=SB=
,
∴SE⊥AB,AB=2,∴SE=1,
又四棱锥S-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,AB=2,
∴CE=
,
又SC=2,∴SC2=CE2+SE2,
∴SE⊥EC,
∵AB∩EC=E,
∴SE⊥面ABCD,
∵SE⊂平面SAB,
∴平面SAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,分别以EC,EB,ES为x轴、y轴、z轴的正半轴建立建立空间直角坐标系.
则面ABS的一个法向量
=(1,0,0),A(0,-1,0),S(0,0,1),D(
,−2,0),
∴
=(
,−1,0),
=(0,1,1),
设面ADS的法向量
=(x,y,z),
则
∵SA=SB=
2 |
∴SE⊥AB,AB=2,∴SE=1,
又四棱锥S-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,AB=2,
∴CE=
3 |
又SC=2,∴SC2=CE2+SE2,
∴SE⊥EC,
∵AB∩EC=E,
∴SE⊥面ABCD,
∵SE⊂平面SAB,
∴平面SAB⊥平面ABCD;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,分别以EC,EB,ES为x轴、y轴、z轴的正半轴建立建立空间直角坐标系.
则面ABS的一个法向量
m |
3 |
∴
AD |
3 |
AS |
设面ADS的法向量
n |
则
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