如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=32．求证：（1）OM∥平面ABD；（2）平面ABC⊥平面MDO．

Question

如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，对角线AC，BD相交于点O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，DM=3√(2)．求证：

（1）OM∥平面ABD；
（2）平面ABC⊥平面MDO．

Answer 1

证明：（1）由题意知，O为AC的中点，∵M为BC的中点，∴OM∥AB．，------------------------（2分）．又∵OM⊄平面ABD，BC⊂平面ABD．
∴OM∥平面ABD，------------------------（6分）
（2）由题意可知：OM=OD=3，DM=3√(2)，∴OM²+OD²=DM²．
∴∠DOM=90°，即OD⊥OM，------------------------（8分）
又∵四边形ABCD是菱形，∴OD⊥AC，
∵OM∩AC=O，AC⊂平面ABC，
∴OD⊥平面ABC，------------------------（10分）
∵OD⊂平面ADO，
∴平面ABC⊥平面MDO，------------------------（12分）