设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为12的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差．

Question

设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0、方差为(1)/(2)的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差．

Answer 1

令：Z=X-Y，
则由于X，Y相互独立，且服从正态分布，因而Z也服从正态分布，
且EZ=EX-EY=0-0=0，DZ=D（X-Y）=DX+DY=(1)/(2)+(1)/(2)＝1，
因此，Z=X-Y～N（0，1），
∴E|X-Y|=E|Z|=

∫

+∞ −∞

|z|(1)/(√(2π))e−(z2)/(2)dz=(2)/(√(2π))

∫

+∞ 0

ze−(z2)/(2)dz=−(4)/(√(2π))e−(z2)/(2)

|

+∞ 0

＝√((2)/(π))，
又：D|X-Y|=D|Z|=E|Z|²-[E|Z|]²=EZ²-[E|Z|]²=DZ+[EZ]²-[E|Z|]²=1+0-[E|Z|]²=1-[E|Z|]²，
∴D|X−Y|＝1−(2)/(π)．