p〉3,p为素数,求证42p|（3^p-2^p-1).

Question

p〉3,p为素数,求证42p|（3^p-2^p-1).

Answer 1

由二项式定理,3^p=(2+1)^p=2^p+c(p,1)*p^(n-1)+c(p,2)p^2(n-2)+……c(p,p-1)p+1,
∴p|(3^p-2^p-1),
p>3,p为素数,
∴p是奇数,为6k土1,k>=1,
以2为模,3^p-2^p-1≡1-1≡0,
以3为模,3^p-2^p-1≡-(-1)^p-1≡1-1=0,
以7为模,3^(6k+1)-2^(6k+1)-1≡3*729^k-2*64^k-1≡3-2-1≡0,
3^(6k-1)-2^(6k-1)-1≡243*729^(k-1)-32*64^(k-1)-1≡243-32-1≡0.
当p=7时3^7-2^7-1=2058能被42*7=294整除.
当p≠7时2,3,7,p互质,
∴42p|(3^p-2^p-1).