微积分题的问题分段函数x.arctan（1/x）,x不等于0；0,x等于0在x=0处为什么不可导?怎么求的?

Question

微积分题的问题
分段函数 x.arctan（1/x）,x不等于0 ；
0,x等于0
在x=0处为什么不可导?怎么求的?

Answer 1

首先x=0处是连续的,因为
lim x->+0 xarctan(1/x)=0×π/2=0
lim x->-0 xarctan(1/x)=0×(-π/2)=0
可导必连续,但连续未必可导.下面要证不可导.
考虑导函数的左右极限.
x≠0时,f'(x)=arctan(1/x)+x*1/[1+(1/x)^2]*(-1/x^2)
=arctan(1/x)-x/([1+x^2)
左极限为-π/2,右极限为π/2
导函数左右极限不等.故在x=0处为什么不可导.