sinx^2+acosx-0.5的最大值为1,求实数a的值

Question

sinx^2+acosx-0.5的最大值为1,求实数a的值

Answer 1

先构造函数f（x）=sinx^2+acosx-0.5
f（x）=sinx^2+acosx-0.5+cosx^2-cosx^2
=-cosx^2+acosx+0.5
令cosx=t,t∈【-1,1】
所以f（x）=-t²+at+0.5 t∈[-1,1]
所以,根据这个函数的特点,判断t=a/2（函数图象的最高点）的位置,确定f（x）的最大值,
当a/2≥1时,即a≥2,f（x）max=f（1）=-1+a+0.5=1,所以a=1.5,因为a≥2,所以这里a不存在；
当-1＜a/2＜1时,即-2＜a＜2,f（x）max=f（a/2）=-a²/4+a²/2+0.5=1,所以a=±√2；
当a/2≤-1时,即a≦-2,f（x）max=f（-1）=-1-a+0.5=1,所以a=-1.5,因为a≦-2,所以这里a不存在；
综上所述,a的值为±√2.