大学高等代数题设A∈Pm*n1.证明全体与A可交换的矩阵全体构成Pm*n的一个子空间,记作C(A)2.当A=E时,求C(A

Question

大学高等代数题设A∈Pm*n 1.证明全体与A可交换的矩阵全体构成Pm*n的一个子空间,记作C(A) 2.当A=E时,求C(A

Answer 1

由题意,假设存在BA=AB,要满足矩阵的乘法,必有B与A为阶数要相同的方阵,不仿设满足条件的空间为P n*n
1,显然P为线性空间,要证C为它的子空间只要证,任意M,N属于C时,kM+lNS属于C
MA=AM,NA=AN,易的（kM+lNS）A=A(kM+lNS),综合上述kM+lNS属于C,所以是P的子空间
2当当A=E时,设A的阶数为n的方阵,对任何B属于P n*n,均满足BA=AB
所以C(A)=P n*n,n为A的阶数,且A必为方阵
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