如图，将抛物线M1：y1=ax2+4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y2，记为M2，直线y=x与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是-3．（1）①求a的值和M2的表达式

Question

如图，将抛物线M₁：y₁=ax²+4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y₂，记为M₂，直线y=x与M₁
的一个交点记为A，与M₂的一个交点记为B，点A的横坐标是-3．

（1）①求a的值和M₂的表达式；②求点B的坐标；
（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF．
①当点C的横坐标为2时，直线y=x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；
②在点C的运动过程中，若直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点，请你直接写出n的取值范围．
（3）将抛物线M₁重新适当平移，使平移后的抛物线M₃的顶点为P（0，k）．过点B作BH⊥x轴于H，若抛物线M₃与△OBH的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．

Answer 1

（1）①∵点A在直线y=x，且点A的横坐标是-3，
∴A（-3，-3），
把A（-3，-3）代入y=ax²+4x，
解得a=1．
∴M₁：y=x²+4x，顶点为（-2，-4）．
∴M₂的顶点为（1，-1），
∴M₂的表达式为y=x²-2x；

②将y=x代入y=x²-2x，得x=x²-2x，
解得x₁=3，x₂=0（舍去），
∴点B的坐标为（3，3）；

（2）①由题意，C（2，2），
∴F（4，2）．
∵直线y=x+n经过点F，
∴2=4+n，
解得n=-2；

②由题意得：n的取值范围是n>3，n<-6；

（3）由题意，抛物线M₃的解析式为y=x²+k．   
当抛物线经过点H（3，0）时，3²+k=0，
解得k=-9．                            
∵O（0，0），B（3，3），
∴直线OB的解析式为y=x．
由

y=x

y=x2+k

，
得x²-x+k=0，①
当△=（-1）²-4×1×k=0，即k=(1)/(4)时，抛物线M₃与直线OB只有一个公共点，
此时方程①化为x²-x+(1)/(4)=0，
解得x=(1)/(2)，
即公共点的横坐标为(1)/(2)，此时公共点在线段OB上．
∴k的取值范围是-9<k<(1)/(4)．