大一物理（质点的运动）一艘正在沿直线行驶的电艇,在发动机关闭后,其加速度与速度方向相反,大小与速度的平方成正比,即dv/dt＝－Kv²,式中K为常量.试证明电艇在关闭发动机后继续行驶x

Question

大一物理（质点的运动）
一艘正在沿直线行驶的电艇,在发动机关闭后,其加速度与速度方向相反,大小与速度的平方成正比,即dv/dt＝－Kv²,式中K为常量.试证明电艇在关闭发动机后继续行驶x距离的速度为v＝V0exp（-Kx）,其中,v0是发动机关闭时的速度.

Answer 1

dv/dt = - K*v^2
dv/v^2 = - K*dt
两边同时积分,可以得到：
- 1/v = - Kt - C,所以,v = 1/(Kt + C)
当 t = 0 时,v = V0,所以,C = 1/V0,即：v = 1/(Kt + 1/V0) = V0/(Kt*V0 + 1)
又因为：
dx = v*dt
两边同时积分,可以得到：
x = ∫V0 *dt/(Kt*V0 + 1)
=1/K *∫ (KV0 *dt)/(KV0*t + 1)
=1/K *∫d(KV0*t + 1)/(KV0*t + 1)
= 1/K * ln(KV0 * t + 1) + C'
当 t = 0 时,x = 0.所以,C'=0
因此,KV0 * t + 1 = e^(K*x)
那么,v = V0/(KV0*t + 1) = V0/[e^(k*x)] = V0*e^(-Kx) = V0 *EXP(-Kx)