以[x]表示不大于x的最大整数，称为x的整数部分，或称为x的取整，例如[3]=3，[3.2]=3，[3.7]=3.设S=1[(10×11−1)210×11]+1[(11×12−1)211×12]+…+1[(49×50−1)249×50]，则30S=（）A.1B.2C.3D.0

Question

以[x]表示不大于x的最大整数，称为x的整数部分，或称为x的取整，例如[3]=3，[3.2]=3，[3.7]=3.设S=(1)/([((10×11−1)2)/(10×11)])+(1)/([((11×12−1)2)/(11×12)])+…+(1)/([((49×50−1)2)/(49×50)])，则30S=（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0

Answer 1

∵x-1＜[x]≤x，[n+θ]=n+[θ]（n是整数），
∴当n≥10且x是整数时，
[([x(x+1)−1]2)/(x(x+1))]=[x（x+1）-2+(1)/(x(x+1))]=x（x+1）-2=（x+2）（x-1），
∴S=(1)/(9×12)+(1)/(10×13)+…+(1)/(48×51)，
注意到：(1)/(n(n+3))＝(1)/(3)((1)/(n)−(1)/(n+3))，
∴3S=（(1)/(9)−(1)/(12)）+（(1)/(10)−(1)/(13)）+（(1)/(11)−(1)/(14)）+（(1)/(12)−(1)/(15)）+…+（(1)/(48)−(1)/(51)）
=(1)/(9)+(1)/(10)+(1)/(11)−(1)/(49)−(1)/(50)−(1)/(51)．
∴(3)/(10)−(3)/(40)＜3S＜(3)/(9)−(3)/(60)，
∴2＜(9)/(4)＜30S＜(17)/(6)＜3，
∴[30S]=2．
故选B．