用数学归纳法证明1^3+2^3+...+n^3+3(1^5+2^5+...+n^5)=n^3(n+1)^3/2

Question

用数学归纳法证明1^3+2^3+...+n^3+3(1^5+2^5+...+n^5)=n^3(n+1)^3/2

Answer 1

当n=1时,等式左边=1^3+3*(1^5)=4,等式右边=1^3(1+1)^3/2=4,等式成立； 假设当n=k(k≧1)时等式成立,即：1^3+2^3+...+k^+3(1^5+2^5+...+k^5)=k^3(k+1)^3/2,两边同时加(k+1)^3+3(k+1)^5：1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3+3[1^5+2^5+...+k^5+(k+1)^5]=k^3(k+1)^3/2+(k+1)^3+3(k+1)^5=(k+1)^3[k^3/2+1+3(k+1)^2]=(k+1)^3(k^3+6k^2+12k+8)/2=(k+1)^3(k+2)^3/2=(k+1)^3[(k+1)+1]^3/2,所以当n=k+1时原等式也成立,所以对所有正整数n,原等式恒成立.